Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=(1-m*2^x)/(1+m*2^2),若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数，求实数m的范围。过程详细。谢谢~

Answer 1

分析：（1）当a=1时，易知f（x）在（-∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；
（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为 在[0，+∞）上恒成立 即可；
（3）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T（m）不小于最大值，从而解决．解答：解：（1）当a=1时，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，
∴ 在[0，+∞）上恒成立（6）
∴ （7分）
设2x=t， ， ，由x∈[0，+∞）得t≥1，
设1≤t1＜t2，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1
所以实数a的取值范围为[-5，1]．（10分）
（3） ，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即 （13分）
①当 ，即 时， ，（12分）
此时 ，（14分）
②当 ，即 时， ，
此时 ，
综上所述，当 时，T（m）的取值范围是 ；
当 时，T（m）的取值范围是[ ，+∞）（16分）

Answer 2

解：（1）当a=1时，
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，
∴ 在[0，+∞）上恒成立（6）
∴ （7分）
设2x=t， ， ，由x∈[0，+∞）得t≥1，
设1≤t1＜t2，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1
所以实数a的取值范围为[-5，1]．（10分）
（3） ，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即 （13分）
①当 ，即 时， ，（12分）
此时 ，（14分）
②当 ，即 时， ，
此时 ，
综上所述，当 时，T（m）的取值范围是 ；
当 时，T（m）的取值范围是[ ，+∞）（16

Answer 3

（1）当a=1时，易知f（x）在（-∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；
（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为 在[0，+∞）上恒成立 即可；

Answer 4

给你个思路，自己好好的练习：这个题你可以观察到　M＊2^X在［0，1］上是有单调性的。而後面的(1+m*2^2与X无关，那就好讨论了。

Answer 5