Question

已知函数f(x),当x,y属于R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)>0,试判断f(x)在（0，正无穷）上的单调性

这个有同学问我，请帮忙解答！，谢谢

Answer 1

令0<x1<x2，则x2-x1>0，因为x>0时，f(x)>0，所以f(x2-x1)>0；
由题意得：f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
所以：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0，即f(x2)>f(x1)
即证得：x1<x2时，f(x1)<f(x2)
所以f(x)在（0，正无穷）上单调递增。

Answer 2

巧了，这个我刚解答完，直接给你拷贝一个吧
在（0，+∞）上任取a,b
设a<b
f(x+y)-f(x)=f(y)
所以 f(b)-f(a)=f(b-a)
因为a<b，所以 b-a>0
由已知 f(b-a)>0
所以 f(b)>f(a)
所以 f(x) 在（0，+∞）上为增函数

Answer 3

f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=f(-x)
f(ax)=a*f(x)
f(x)=x*f(1)
当x>0时，f(x)>0,f(1)>0
因而函数f(x)（=x*f(1)）是增函数