Question

高中数学竞赛不等式题

已知非负实数x、y、z满足x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4,则(x+y+z)min

Answer 1

由x、y、z均为非负实数知，
2xy+2yz+2zx+2x+y≥0.

将上式与原式相加得，
(x+y+z)²+3(x+y+z)-14/3≥0.

解得x+y+z≥(根号下22-3)/2或x+y+z≤(-根号下22-3)/2.
又x、y、z≥0，
所以所求为(根号下22-3)/2， 等号在x=y=0, z=(根号下22-3)/2时取得.

Answer 2

x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4
x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)-5/4=13/4
x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)=18/4=9/2
由于非负实数x、y、z，x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2》5/4
所以(x+y+z)min=13/4

追问

有明显问题：
x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2》5/4
等号成立的条件为x=y=z=0，这与题目显然不符，所以等号取不到

追答

(x+1/2)^2+(y+1)^2+(z+3/2)^2=13/4
球面参数方程：x=r*sinacosb-1/2,y=r*sinasinb-1,z=r*cosa-3/2, 其中0≤a≤π,0≤b≤2π
x=√13/2*sinacosb-1/2,y=√13/2r*sinasinb-1,z=√13/2r*cosa-3/2
x+y+z=√13/2*sinacosb-1/2+√13/2*sinasinb-1+√13/2*cosa-3/2
由于x，y，z非负。可以判定出a，b的具体范围。
剩下的就是求三角函数的最小值了。