Question

高数证明数列极限的存在

一个数列，第一项根号二，第二项根号下二加根号二，第三项根号下二加根号下二加根号二.....以此类推，证明这个数列极限的存在。提示让我用数学归纳法，在此提问想得具体过程。还有一个柯西极限存在准则，那个也能用么？

Answer 1

根据你的数列，可以得到：an+1 = 根号(an+2);
a1=根号2<2;a2 = 根号(2+a1)<根号4=2；
下面用归纳法，
假设an-1<2，则an = 根号(2+an-1)<根号4=2；
根据归纳法，an<2,有极限；

Answer 2

先证明有界：显然数列的每一项都小于2，所以有界
在证单调性：即前一项大于后一项

单n=1时显然an2大于an1
假设n=k 时也成立即k+1个根号下二加根号下二加根号二大于k个根号下二加根号下二加根号二
当n=k+1时用分析法，结和n=k时的情况很好证的
所以数列单调有界，存在极限
有界

追问

原来如此，用柯西极限存在准则又如何呢？

追答

对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，任何使得当m>N,n>N时就有 　　|Xn-Xm|<ε （其实就是无限接近的意思）
逻辑很严密的，证你那到题有难度哦

追问

实际操作还是不行..我笨死了...当n=k+1时用分析法，怎么用....