Question

定积分和不定积分存在的问题

如何判断一个函数在某个区间上有没有定积分？
怎样判断一个函数有没有原函数？
怎么判断一个函数有没有不定积分？
第三个问题跟第二个是不是一个问题？
第一个问题，是不是在该区间上存在是分段连续的，并且不存在无限个剪短点就能证明？

Answer 1

第三个问题跟第二个是一个问题
对于一元积分 只要函数在其积分区域上的所有间断点构成的集合为零测集，则该函数在该区域上可积
什么是零测集？ 集合A包含于开区间的并集的，且这些开区间并集总长趋于零 集合A就是零测集。 1至多可数集是零测集 2零测集的子集是零测集 3至多可数个零测集的并集是零测集（至多可数集 与自然数一一对应的集合是可数集（有限集合无限集统称至多可数集）1至多可数集的子集是至多可数集，2可数个至多可数集的并集是至多可数集 ）

“是不是在该区间上存在是分段连续的，并且不存在无限个剪短点就能证明”反例
1/sin（1/x) 在（-1,1)的积分 间断点 x∈1/nΠ 在（-1,1)上有无数个，但间断点的集合是零测集 所以可积

对于多元积分，很抱歉，我不是数学系的，没法给你解答，但是思路应该同上，只是具体操作不同

Answer 2

第三个问题跟第二个是一个问题。
第一个问题：一个函数在某个区间上可积的充分必要条件为这个函数在该区间上的间断点构成一个可列集。