已知向量a=（1，t），b=（3t，2），那么a·b/｜a｜^2+｜b｜^2的取值范围
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令y=a*b/(|a|^2+|b|^2)=(3t+2t)/(t^2+1+9t^2+4)=5t/(10t^2+5)=t/(2t^2+1)
以下有两种方法求上式的取值范围。
方法一：由y=t/(2t^2+1)，得y(2t^2+1)=t
2yt^2-t+y=0，
所以，Δ=1-4*2y*y=1-8y^2>=0，解得 -√2/4<=y<=√2/4，
方法二：当t=0时，显然y=0；
当t≠0时，|y|=|t/(2t^2+1)|=|t|/(2t^2+1)=1/(2|t|+1/|t|)，
由均值不等式，2|t|+1/|t|>=2√2，
所以，0<|y|<=1/(2√2)=√2/4，
再结合y可以取0，因此，-√2/4<=y<=√2/4；
综上，所求的取值范围是：[-√2/4，√2/4].
以下有两种方法求上式的取值范围。
方法一：由y=t/(2t^2+1)，得y(2t^2+1)=t
2yt^2-t+y=0，
所以，Δ=1-4*2y*y=1-8y^2>=0，解得 -√2/4<=y<=√2/4，
方法二：当t=0时，显然y=0；
当t≠0时，|y|=|t/(2t^2+1)|=|t|/(2t^2+1)=1/(2|t|+1/|t|)，
由均值不等式，2|t|+1/|t|>=2√2，
所以，0<|y|<=1/(2√2)=√2/4，
再结合y可以取0，因此，-√2/4<=y<=√2/4；
综上，所求的取值范围是：[-√2/4，√2/4].
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