Question

高数 关于数列收敛的问题

求解！ 高分

Answer 1

易见ai∈(0,1). 记f(x)=1/(1+x), f在(0,1)上严格减。a(n+1)=f(an).

a1=1, a2=1/2, a3=2/3. a1>a3.
f(x)在(0,1)上严格减，故f(f(x))(0,1)上严格增。
则a5=f(f(a3))>f(f(a1))=a3.
类似上面过程，由归纳法易证a(2n-1)严格递增。
而a(2n+2)=f(a(2n+1))<f(a(2n-1))=a(2n), 故a(2n)严格递减。

单调有界序列必有极限，故可设a(2n-1)->x, a(2n)->y (n->∞). x,y∈[0,1].
在a(2n)=1/[1+f(a(2n-1))]及a(2n+1)=1/[1+f(a(2n))]两边令n->∞:
得y=1/(1+x)且x=1/(1+y).
则有xy+y=1=xy+x, 所以x=y.
即：an的奇子列和偶子列都收敛于同一极限x，故an收敛于x.

由x=1/(1+x)及x∈[0,1], 可解得x=(sqrt5-1)/2.

Answer 2

假设极限存在其值为A,则有A=1/(1+A)(跟5用符号#表示）
求A=（--1+#)/2负值舍去，将an分奇数X(2N+1)和偶数x2n来分析
在证明X1,X3，X5，X7，,,,X(2N+1)单调递增以A为上界
x2,x4,x6,x8,,,,x2n单调递减以A为下界
X2N,X(2N+1)有相同的极限（他们均收敛）所以an收敛

Answer 3

已知数列x(n+1)=k/(1+xn)，k和x1大于零， 证明那么数列x1 x3 x5.. 和x2 x4...都会 趋近于limit A。
你这个问题k=1

k和x1大于0 则xn>0
则x(n+1)=k/(1+xn)<k/(1+0)=k
xn<k
则x(n+1)=k/(1+xn)>k/(1+k)
xn>k/(1+k)
因此 数列每项都在k和k/(1+k)中间的正数项

1/x(n+2)=1/(k/(1+x(n+1)))=(1+x(n+1))/k=1/k+x(n+1)/k
=1/k+1/(1+xn)

下面证明x(n+2)<xn

1/x(n+2)-1/xn=1/k+1/(1+xn)-1/xn
=1/k-1/xn/(1+xn) 【2】
因为xn>k/(1+k)
xn(1+xn)>k/(1+k)*(1+k/(1+k))=k*1/(1+k)*(2k+1)/(1+k)
=k*(2k+1)/(1+2k+k*k)
>k*(2k+1)/(1+2k+0) (k*k>0)
=k
又两边都是正数

所以【2】式1/x(n+2)-1/xn=1/k-1/xn/(1+xn)>0
1/x(n+2)>1/xn
都是正数项 同乘x(n+2)*xn
x(n+2)<xn

xn是有界递减的正数数列

n为奇数或偶数 就是对应的 x1 x3 x5和x2 x4 x6
如果有极限则是同一极限
1/x(n+2) =1/k+1/(1+xn) 1/x=1/k+1/(1+x) 化简结果 x*x+x=k 根的判别式为正，正根 (-1+根号(4k+1))/2=A

x(n)<x(n-2) n>=3
A<x(n)
n趋向于无穷大时 xn就取到了A这个正根
证明极限就是A。

Answer 4

楼上正解