Question

已知f(x)=xInx,g(x)=x³++ax²-x+2（1）如果函数g(x)的单调递减区间为（-1/3，1），求函数

已知f(x)=xInx,g(x)=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g(x)的单调递减区间为（-1/3，1），求函数g(x)的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g(x)的图像过点p(1,1）的切线方程；
（3）对一切的x∈（0，+∞），2f(x)≤g(x)+2恒成立，求实数a的取值范围。
不好意思，打漏了一点。
2f(x)≤g'(x)+2恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
∵g(x)=x³+ax²-x+2
∴g'(x)=3x²+2ax-1
∵g(x)的单调递减区间为(-1/3，1)
∴g'(x)=3x²+2ax-1<0的解集是-1/3<x<1.
∴-1/3和1是方程3x²+2ax-1=0的两个根
由韦达定理：-(2a)/3=-1/3+1=2/3，解得：a=-1
∴g(x)=x³-x²-x+2，g'(x)=3x²-2x-1
(2)
若点P(1，1)是切点：
k=g'(1)=3-2-1=0，切线就是y=1；
若点P(1，1)不是切点：
设切点是(x0，x0³-x0²-x0+2)，那么斜率k=g'(x0)=3x0²-2x0-1.
而点(x0，x0³-x0²-x0+2)和P(1，1)均在所求的切线方程上
故切线斜率就是两点连线所在直线的斜率，即[(x0³-x0²-x0+2)-1]/(x0-1)=3x0²-2x0-1.
那么x0³-x0²-x0+1=3x0³-2x0²-x0-3x0²+2x0+1，2x0³-4x0²+2x0=0，2x0(x0-1)²=0
解得：x0=0或x0=1(舍)，那么斜率k=g'(0)=-1，切线方程就是y-1=-(x-1)，x+y-2=0.
综上所述，切线方程为y=1或x+y-2=0.
(3)
∵对于x∈(0，+∞)，要使2f(x)≤g'(x)+2恒成立
∴要使2xlnx≤3x²+2ax-1+2恒成立
∴要使2lnx≤3x+2a+1/x恒成立
∴要使a≥lnx-(3/2)x-1/(2x)恒成立
设F(x)=lnx-(3/2)x-1/(2x)，则F'(x)=1/x-3/2+1/(2x²)=-(3x²-2x-1)/(2x²)=-(3x+1)(x-1)/(2x²).
令F'(x)=-(3x+1)(x-1)/(2x²)，得x=-1/3或x=1.
∵当x<-1/3时，F'(x)<0，F(x)单调递减；
当-1/3<x<1时，F'(x)>0，F(x)单调递增；
当x>1时，F'(x)<0，F(x)单调递减.
∴x=1是极大值点
∴F(1)=-2是F(x)在(0，+∞)上的最大值
∴a∈[-2，+∞).

Answer 2

1

Answer 3

ccc

Answer 4

唉，还是不懂