Question

一道平面几何的题，实在是解不出来了，感觉上应该有解才对啊……

以边长是a的正方形的中心为圆心作圆，圆与正方形的各边都相交两点，使角弧形的面积恰好是弓形面积的一半，求圆的半径？（除去正方形与圆形重合的部分所剩下的图形就是角弧形和弓形了）

Answer 1

圆的半径约为0.582822a

追问

求解法，我在解的过程中遇到超越方程了，有具体过程吗？能避过超越方程吗？

追答

遇到类似问题,我采取自己的"数值解法"
遇到无法用常规解决方程或超越方程 f(x)=g(x) a<x<b, 用excel列表,找出误差绝对值最小,且符号改变的两组,然后将该区间等分.....直到认为精度足够

追问

竟然还可以用到excel，其实我在想把这个问题变一下
假设已知正方形边长为a，圆形半径为r，，可以不可以得出扇形和角弧型的关系呢？

追答

对. 其实原题答案和边长无关.扇形和角弧型有一个固定的关系
我解的时候就设扇形角A和角弧型角Pi/2-A, A取值0-Pi/2 0,0.1,0.2......1.5,1.6 弧度

假设已知正方形边长为a，圆形半径为r, Cos(A/2)=a/2r 可得 扇形和角弧型面积的关系

Answer 2

用圆截正方形所得线段长和半径长列二元方程组,解之得答案

追问

这个二元方程最后只能化成一个超越方程……这个方法解不出来的。

Answer 3

比较简单的问题， 你自己去捉摸捉摸吧！

追问

答不出来就是答不出来，能虚心一点么？我捉摸出超越方程了，才把这题发上来请求帮助，看看大家有没有避过超越方程的解法。

Answer 4

这个题有点问题，如果没有其他的条件，则半径r有一个取值范围，即a/2＜r＜（根号2）a/2.

因为当r=a/2时，圆内切于正方形，此时圆与正方形有4个交点。当r=（根号2）a/2时，此时圆是正方形的外接圆，与正方形也仅有4个交点。只有a/2<r<（根号2）a/2时，圆与正方形有8个交点。

圆与正方形的交点越靠近与它最近的正方形顶点时，圆的半径r越大，故r不是一定值。

追问

但应该只存在一个x使得r=xa的时候，才能有其弓形面积是角弧型面积的2倍吧？当r>xa的时候弓形面积更大而角弧型面积更小，r<xa的时候弓形面积更小而角弧型面积更大。

最极端的情况就是r=a/2或2=(根号)a/2时，分别是弓形为0角弧最大（圆为内切圆）和弓形最大而角弧为0 （圆为外接圆），既然在其中变化，那么一定存在一个x满足条件吧？
但我列了方程，无论如何都会产生一个超越方程……