Question

已知数列an的前n项和为sn，且sn+an=n^2+3n+5/2，证明数列{an-n}是等比数列

Answer 1

Sn+an=n^2+3n+5/2 ①
当n=1时，S1+a1=1^2+3*1+5/2=13/2
而S1=a1，所以2a1=13/2，
即a1=13/4，
所以a1-1=9/4；
又S(n-1)+a(n-1)=(n-1)^2+3(n-1)+5/2=n^2-2n+1+3n-3+5/2=n^2+n+1/2 ②
①-②得，Sn+an-S(n-1)-a(n-1)=2n+2
而Sn-S(n-1)=an
所以，2an-a(n-1)=2n+2
即an=1/2a(n-1)+n+1
an-2n=1/2a(n-1)+n+1-2n,
an-2n=1/2a(n-1)-n+1
即an-2n=1/2[a(n-1)-2(n-1)]
∴数列{an-2n}是公比为1/2的等比数列。