Question

求解一道矩阵题

设N阶矩阵A满足AA^T=I ，又已知 |A|<0,求 |I+A|， 我们教到矩阵的计算那一章 还有为什么 |I+A|= |1+A|？

Answer 1

式AA^T=I 中右边是什么?
因为A是N阶矩阵，理解为N阶方阵，则AA^T应该也是N阶方阵才对，那么式AA^T=I 中右边是单位方阵么?

追问

i的大写 然后证出来那个i的大写就是单位矩阵1 为什么乃

追答

i的大写那就是单位方阵，
还有后面“又已知 |A|<0,求|I+A|，我们教到矩阵的计算那一章 还有为什么 |I+A|= |1+A|”中的“I”和“1”都是i的大写吗？

|I+A|=|AA^T+A|=|A(A^T)+I|=|A| |A^T+I|=|A| |A^T+|AA^T| = |A| |I+A| |A^T|

追问

就前面那个是i 的大写 后面那个是1 我看我同学那样证得

追答

后面那个也应该是单位方阵

注意用 |I+A|=|AA^T+A|=|A(A^T+I) |=|A| |A^T+I|=|A| |A^T+AA^T| = |A| |I+A| |A^T| = |A| ^2 |I+A|，
不用正交矩阵，当 |I+A|≠0时，可得到 |A| = -1

对AA^T=I 两边取行列式，也可得到 |A| = -1

Answer 2

A是正交矩阵，所以A的行列式是1或者-1，而A的行列式小于零，故只能等于-1。|I+A|=-|I+A||A^T|=-|A^T+A*A^T|=-|A^T+I|=-|A+I|,故|A+I|=0.后面那个式子显然是错的，举证怎么能和数字相加呢，建议LZ回去翻翻书，这是个定理，有一般形式，你回去再看看。

追问

请问下 这步为什么啊？ -|A^T+I|=-|A+I| ？ |A^T|=|A| 不是也不能得出A^T=A的吗？ 还有正交矩阵好像还没讲到

追答

A^T+I为A+I的转置矩阵啊，转置矩阵和原矩阵的行列式是相等的啊，后面我没有推出A^T=A啊