Question

如图①，点D、E、F分别是等边三角形ABC三边的中点，这时△ABC被分割成4个全等的三角形

你能把图②中的等边三角形分割成面积相等的四部分，且其中三部分的图形都是等腰梯形吗？

Answer 1

令正△ABC的中心为O，分别取OA、OB、OC的中点为D、E、F。则：

ABED、BCFE、CADF、△DEF为面积相等的四部分，且ABED、BCFE、CADF都是等腰梯形。

证明如下：

∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，

∴由三角形中位线定理，有：DE∥AB、EF∥BC、FE∥CA，

∴ABED、BCFE、CADF都是梯形。

∵O是正△ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴AD＝BE＝CF，

∴ABED、BCFE、CADF都是等腰梯形。

∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，

∴由三角形中位线定理，有：DE＝AB/2、EF＝BC/2、FD＝CA/2。

又△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝CA，∴DE＝EF＝FD。

由AB＝BC＝CA、DE＝EF＝FD、AD＝BE＝CF，得：ABED、BCFE、CADF都是全等的梯形。

显然，△DEF的面积＝（1/2）DE^2sin60°＝（1/2）（√3/2）（AB/2）^2＝√3AB^2/16。

又△ABC的面积＝（1/2）AB^2sin60°＝（1/2）（√3/2）AB^2＝√3AB^2/4。

∴ABED的面积＝BCFE的面积＝CADF的面积＝（△ABC的面积－△DEF的面积）/3

＝（√3AB^2/4－√3AB^2/16）/3＝√3AB^2/16。

∴ABED的面积＝BCFE的面积＝CADF的面积＝△DEF的面积。

∴ABED、BCFE、CADF、△DEF为所分割的四个部分。　见下图所示。

Answer 2

令正△ABC的中心为O，分别取OA、OB、OC的中点为D、E、F。则：
ABED、BCFE、CADF、△DEF为面积相等的四部分，且ABED、BCFE、CADF都是等腰梯形。
证明如下：
∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴由三角形中位线定理，有：DE∥AB、EF∥BC、FE∥CA，
∴ABED、BCFE、CADF都是梯形。
∵O是正△ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴AD＝BE＝CF，
∴ABED、BCFE、CADF都是等腰梯形。
∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴由三角形中位线定理，有：DE＝AB/2、EF＝BC/2、FD＝CA/2。
又△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝CA，∴DE＝EF＝FD。
由AB＝BC＝CA、DE＝EF＝FD、AD＝BE＝CF，得：ABED、BCFE、CADF都是全等的梯形。
显然，△DEF的面积＝（1/2）DE^2sin60°＝（1/2）（√3/2）（AB/2）^2＝√3AB^2/16。
又△ABC的面积＝（1/2）AB^2sin60°＝（1/2）（√3/2）AB^2＝√3AB^2/4。
∴ABED的面积＝BCFE的面积＝CADF的面积＝（△ABC的面积－△DEF的面积）/3
＝（√3AB^2/4－√3AB^2/16）/3＝√3AB^2/16。
∴ABED的面积＝BCFE的面积＝CADF的面积＝△DEF的面积。
∴ABED、BCFE、CADF、△DEF为所分割的四个部分。

Answer 3

事实求是，我真的不会！！！！！！