Question

设f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（5.5）的值

Answer 1

设f(x)是R上的奇函数
则f(-x)=-f(x)
f(x+2)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以为周期是4的函数
则f(5.5)=f(4+1.5)=f(1.5)
=f[2+(-0.5)]
=-f(-0.5)
=-[-f(0.5)]
=f(0.5)
当0≤x≤1时，f（x）=x
所以f(0.5)=0.5
即f(5.5)=0.5

追问

我们还没学什么周期啊，有别的方法解么

追答

可以不叫周期，直接导用即可
知道f(x+4)=-f(x+2)=f(x)这个以后
即可得出f(5.5)=f(4+1.5)=f(1.5)
又由f(x+2)=-f(x),
f(1.5)=f[2+(-0.5)]=-f(-0.5)
后面同样的

追问

已知函数f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，且为奇函数，若f（m）+f（2m+1）>0，求实数m的取值范围

追答

为奇函数，则f(-x)=-f(x)
则f（m）+f（2m+1）>0，
f(m)>-f(2m+1)=f(-2m-1)
已知为减函数
则f(-2)≥f(m)>f(-2m-1)≥f(2)
所以-2≤m<-2m-1≤2
1. m≥-2
2. m<-2m-1 解得m<-1/3
3. -2m-1≤2 解得m≥-1/3
无解，你是否抄错了。
方法就是这样做的

追问

是f(m)+f（2m-1）>0

追答

为奇函数，则f(-x)=-f(x)
则f（m）+f（2m+1）>0，
f(m)>-f(2m-1)=f(1-2m)
已知为减函数
则f(-2)≥f(m)>f(1-2m)≥f(2)
所以-2≤m<1-2m≤2
1. m≥-2
2. m<1-2m 解得m<1/3
3. 1-2m≤2 解得m≥-1/2
综上：-1/2≤m<1/3

Answer 2

【1】
∵函数f(x)在R上是奇函数,
∴恒有f(x)+f(-x)=0
∴f(0.5)+f(-0.5)=0
∴f(-0.5)=-f(0.5)
【2】
∵当0≦x≦1时,f(x)=x.
∴f(0.5)=0.5
∴结合上面可知
f(-0.5)=-0.5
【3】
又恒有f(x+2)=-f(x)
∴f(5.5)=f(3.5+2)=-f(3.5)
f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)
f(1.5)=f(-0.5+2)=-f(0.5)
∴f(5.5)=-f(0.5)=-(-0.5)=0.5
∴f(5.5)=0.5

Answer 3

因为f(x)为奇函数，f(5.5)=-f(2+3.5)=-f(3.5)
f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)
f(1.5)=-f(-1.5)=-f(-2+0.5)=-f[-(2-0.5)]=-[-f(2-0.5)]=f(2-0.5)=-f(-0.5)=f(0.5)=0.5
f(5.5)=-f(3.5)=f(1.5)=0.5

Answer 4

f(5.5)=f(5)+f(0.5)=f(3+2)+f(0.5)=-f(3)+f(0.5)=-f(1+2)+f(0.5)=f(1)+f(0.5)=1.5