Question

高二数学圆

1、求经过直线x=-2与已知圆x2+y2+2x-4y-11=0的交点的所有圆中，具有最小面积的圆的方程。

2、已知一圆过P(4，-2），Q（-1，3）两点，且在x轴上截得的线段长为4根号3，求圆的方程

Answer 1

1、求经过直线x=-2与已知圆x2+y2+2x-4y-11=0的交点的所有圆中，具有最小面积的圆的方程。
设所求圆为x²+y²+2x-4y-11+2k(x+2)=0
化简得r²=(x-1-k)²+(y-2)²=11-4k+4+(1+k)²=(k-1)²>=15
所以k=1时，r²最小，即S=πr²最小
故圆方程为x²+y²+4x-4y-7=0

2、已知一圆过P(4，-2），Q（-1，3）两点，且在x轴上截得的线段长为4根号3，求圆的方程
设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0,x²+Dx+F=0
所以x轴上截得的线段长为 根号下(D²-4F)=4根号3
即D²-4F=48，即F=D²/4-12 <1>
因为圆过P(4，-2），Q（-1，3）两点，所以
20+4D-2E+F=0 <2>
10-D+3E+F=0 <3>
<2>*3+<3>*2得
16+2D+F=0
将<1>代入得
D²/4+2D+4=0
D=-4
所以F=D²/4-12=-8
E=-2
所以圆的方程为x²+y²-4x-2y-8=0

Answer 2

1
由
x=-2
x^2+y^2+2x-4y-11=0
得y=2±√15
面积最小的圆就是以两个交点的线段为直径的圆
所以面积最小的圆的直径=（2+√15）-（2-√15)=2√15
且圆心坐标为（-2，2）
所以圆的方程为（x+2)²+(y-2)²=15

2
设原方程为 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 …… (1)式
P、Q 两点带入(1)式，得
(4-a)^2+(2+b)^2=r^2 …… (2)式
(1+a)^2+(3-b)^2=r^2 …… (3)式
令x=0，a^2+(y-b)^2=r^2, 解得
y1=b+根号下(r^2-a^2)
y2=b-根号下(r^2-a^2)
由于圆在y轴上截得的线段上为4倍根号3
所以|y1-y2|=4倍根号3
即2(r^2-a^2)=4倍根号3，化简得 r^2=a^2+12 …… (4)式
解(2)式、(3)式、(4)式得到
a=1,b=0,r=根号下13, 圆方程(x-1)^2+y^2=13 或
a=5,b=4,r=根号下37, 圆方程(x-5)^2+(y-4)^2=37