Question

高中数学题， 定义在R上的函数f(x) (f(x)≠0)满足：对任意实数x1,x2,总有f（x1+x2）=f（x1）f(x2)，且x＞0

Answer 1

这个不是对数函数么这道题当年见过，虽然没法求得它的表达式，但是对数函数满足这个表达式。
还有类似f（x1+x2）=[f(x1)+f(x2)]/[1-f(x1)f(x2)]，它也没法求得表达式，但是正切函数满足这个表达式。 （1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时，0＜f(x)＜1，试判断f(x)的单调性。
解：若存在x0,使得f(x0)=0,则
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0,
这与“x＞0时，0＜f(x)”矛盾。
∴f(x)=[f(x/2)]^2>0,
设x1<x2,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,
∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)<f(x1),
∴f(x)是减函数。

（2）定义在R上的不恒为0的函数f(x)满足：对任意实数x1,x2，都有f(x1x2)=x2f(x1)+x1f(x2),试判断f(x)的奇偶性。
解：令x2=1,得f(x1）=f(x1)+x1f(1),
∴f(1)=0,
令x1=x2=-1,得0=-2f(-1),
∴f(-1)=0,
令x1=x,x2=-1,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数。

Answer 2

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时，0＜f(x)＜1，试判断f(x)的单调性。
解：若存在x0,使得f(x0)=0,则
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0,
这与“x＞0时，0＜f(x)”矛盾。
∴f(x)=[f(x/2)]^2>0,
设x1<x2,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,
∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)<f(x1),
∴f(x)是减函数。

（2）定义在R上的不恒为0的函数f(x)满足：对任意实数x1,x2，都有f(x1x2)=x2f(x1)+x1f(x2),试判断f(x)的奇偶性。
解：令x2=1,得f(x1）=f(x1)+x1f(1),
∴f(1)=0,
令x1=x2=-1,得0=-2f(-1),
∴f(-1)=0,
令x1=x,x2=-1,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数。

Answer 3

这道题当年见过，虽然没法求得它的表达式，但是对数函数满足这个表达式。
还有类似f（x1+x2）=[f(x1)+f(x2)]/[1-f(x1)f(x2)]，它也没法求得表达式，但是正切函数满足这个表达式。

Answer 4

log以A做底(x1+x2)的对数等于log以A做底x1对数乘以log以A做底x2对数,且x＞0

Answer 5

这个不是对数函数么。。。