Question

高二数学数列题

设两个数列{an}{bn},满足a1+2a2+3a3+...+nan=bn*n(n+1)/2,若{bn}为等差数列，求证{an}也为等差数列。

Answer 1

本题[ ]内为下脚标 设{bn}公差为d
由 a1+2a2+3a3+...+nan=bn*n(n+1)/2 （1式）
得 a1+2a2+3a3+...+(n-1)a[n-1]=b[n-1]*(n-1)n/2 （2式）
a1+2a2+3a3+...+nan+(n+1)a[n+1]=b[n+1]*(n+1)(n+2)/2 （3式）
1式 - 2式 得 nan= {bn*n(n+1)- b[n-1]*(n-1)n}/2 即 an=(nd+bn+b[n-1])/2 （4式）
3式 - 1式 得 (n+1)a[n+1]={b[n+1]*(n+1)(n+2)-bn*n(n+1)}/2 即 a[n+1]=(nd+2b[n+1])/2 （5式）
由 5式 - 4式 得 a[n+1]-an=(nd+2b[n+1])/2-(nd+bn+b[n-1])/2
=(2b[n+1]-bn-b[n-1])/2
= 3d/2 为常数
所以 {an} 为等差数列