Question

已知抛物线y=x²+2(k+3)x+2k+4

⑴求证：不论k为何值，它与x轴必有两个交点；
⑵设抛物线与x轴的交点为（α,o),(β,0),当k取何值时，α²+β²的值最小？
⑶当k取何值时，抛物线与x轴的交点位于直线x=3的两侧？

Answer 1

(1)
Δ=(2(k+3))^2-4(2k+4)
=4((k+1)^2+1)>0
y=0有两个根
所以不论k为何值，它与x轴必有两个交点
（2）
由韦达定理，α+β=-2(k+3)
αβ=2k+4
α²+β²=(α+β)^2-2αβ=(2k+5)^2+3
k=-5/2时，其值最小为3
（3）
画图分析可知，只要y(3)<0即可
9+6(k+3)+2k+4<0
k<-8/31

Answer 2

(1) 只要证明判别式严格大于零即可。
因为 [2(k+3)]^2 - 4*1*(2k+4)=4[k^2+6k+9-2k-4]=4(k^2+4k+5)= 4[(k+2)^2+1]>4
所以，不论k为何值，它与x轴必有两个交点。

Answer 3

1，Δ>0时有2交点，b²﹣4ac = 4(k+3)²-4(2k+4) = 4k²+16k+20 = 4(k+2)²+4>0成立。
2，α²+β² = (α+β)²-2αβ = [-2(k+3)]²-2(2k+4) = 4k²+20k+28= 4(k+2.5)²+28-6.25
当k = -2.5时，α²+β²最小 = 21.75
3，抛物线与x轴的交点位于直线x=3的两侧
则(x1-3)(x2-3)<0
=>x1x2-3(x1+x2)+9<0=>(2k+4) - 3(-2(k+3))+9 = 8k+31<0
=>k<-31/8;