已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证f(2x)=2f(x).g(x)
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f(x)+g(x)=a^x,<1式>
用－x代x得：f(-x)+g(-x)=a^(-x)
f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，
f(-x)＝－f(x)，g(-x)=g(x)
－f(x)＋g(x)=a^(-x)，<2式>
结合1、2式可知：f(x)=[a^x-a^(-x)]/2,g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
f(2x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
f(x).g(x)=[a^x-a^(-x)]/2*[a^x+a^(-x)]/2=[a^(2x)-a^(-2x)]/4
2f(x).g(x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
所以
f(2x)=2f(x).g(x)
用－x代x得：f(-x)+g(-x)=a^(-x)
f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，
f(-x)＝－f(x)，g(-x)=g(x)
－f(x)＋g(x)=a^(-x)，<2式>
结合1、2式可知：f(x)=[a^x-a^(-x)]/2,g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
f(2x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
f(x).g(x)=[a^x-a^(-x)]/2*[a^x+a^(-x)]/2=[a^(2x)-a^(-2x)]/4
2f(x).g(x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
所以
f(2x)=2f(x).g(x)
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