Question

如图,已知在△ABC中,AP平分∠BAC,D是BC的中点,且DP⊥BC于D,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,AB=6,AC=4,求AE的长

Answer 1

直角三角形AEP AFP中 AP为公共边 ∠BAP=∠CAP 所以△AEP与△AFP 全等
因此AE=AF；PE=PF
连接BP CP
直角三角形BDP与CDP中 DP为公共边 BD=CD 所以 △BDP与△CDP 全等
因此 BP=CP
直角三角形BEP与CFP中 BP=CP PE=PF 所以 △BEP与△CFP 全等
因此 BE=CF
AB=AE+BE=6; AE=AF=AC+CF=4+BE
AE+BE=6；AE= 4+BE
两式相加得：2AE+BE=6+4+BE
解得：AE=5

Answer 2

DP垂直BC D还是中点可得BP=CP AP为角平分线 PE垂直AB PF垂直AC 所以EP=FP 直角三角形PEB全等于直角三角形PFC 所以FC=BE=X
三角形AEP全等于三角形AFP 所以AE=AF AE=AB-BE AF=AC+CF 可得X=1
这样AE=6-1=4+1=5