Question

设f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,且g(x)≠0,当x<0时,f′(x) g(x)+f(x)g′(x)＞0且f(-2)=0

则不等式f(x)g(x)＜0的解集是？
重在过程

Answer 1

令F(x)=f(x)g(x)
F(x)为奇函数
x>0
则F'(x)=,f′(x) g(x)+f(x)g′(x)>0
所以F(x)在（0，+∞）上递增。
f(-2)=0,则f(2)=0
做出图像，可以得解
(-∞，-2)U(0,2）

追问

第三步x＜0

追答

抱歉，输错了、
令F(x)=f(x)g(x)
F(x)为奇函数
x0
所以F(x)在（-∞,0）上递增。
同时F(x)在（0,+∞）上递增。
f(-2)=0
做出图像，可以得解
(-∞，-2)U(0,2）

追问

懂了一点 为什么同时F(x)在（0,+∞）上递增。

追答

这个是奇函数，图像关于原点对称，在y轴两侧的单调性一致。
如果是偶函数，图像关于y轴对称，在y轴两侧的单调性相反

Answer 2

设h(x)=f(x)g(x),则当x<0时，h'(x)>0
且h(-2)=0,所以h(x)在x<0时单调递增，且过-2点，
令-x<0,则x>0,所以h(-x)=-f(x)g(x),则h(x)=f(x)g(x),
所以h'(x)>0，h(2)=0,所以h(x)在x>0时单调递增，且过2点，
又f(x)为奇函数，所以f(0)=0,即h(0)=0,
所以h(x)<0的解集为（-∞，-2)U(0,2)

Answer 3

[f(x)g(x)]'=f′(x) g(x)+f(x)g′(x)＞0
所以：f(x)g(x) 在x<0 是增函数，
又f(-2)=0, 所以：f(-2)g(-2)=0
则不等式f(x)g(x)＜0的解集是：x<-2

Answer 4

f′(x) g(x)+f(x)g′(x)=(f(x)g(x))'>0 when x<0
assume F(x)=f(x)g(x)
then F(x)在x<0上单调递增 and F(x)为奇函数
because f(-2)=0
so F(-2)=F(2)=F(0)=0 and F(x)>0 when -2<x<0
so F(x)<0 when 0<x<2 or x<-2
so f(x)g(x)<0 x∈{x|0<x<2 or x<-2}

Answer 5

（-inf，-2）and （0，2）

F(x)=f(x)g(x) ====>F(x)奇函数====》x<0 , dF(x)/dx 》>0 ==>F(x)在（-inf，0）and (0, inf)单增====》而且F(-2)=0 ===》F(2)=0 ====>(-inf,-2) and (0,2)使得F(x)<0