Question

高数求极限的问题

limx→a lnx-lna/x-a，还有一题：limx→1 1/lnx-x/lnx.这两题如果不用洛必达法则该怎么求。
第一题，直接把a带进去，即可=lna-a
第二题：=(1-x)/lnx
令t=x-1 则当x→a时，t→0
=-t/ln(1+t)
而我们已经知道：当t→0时，t~ln(1+t)
所以最后结果=-1
第一题答案有错，是不是看错了？答案应该是1/a第二题正解。

Answer 1

不用洛必达的话，
解一：等价无穷小法
lim x->a
lnx-lna=ln(x/a)=ln[1+(x/a)-1)因为(x/a) -1->0
所以lnx-lna=ln(1+(x/a)-1)~(x/a)-1
所以原式=lim x->a [ (x/a)-1]/(x-a)=lim 1/a=1/a
解二：中值定理法
lnx-lna=(lnξ)'(x-a)=(x-a)/ξ,其中ξ属于[a,x]，当x->a,ξ->a
则lim x->a
(lnx-lna)/(x-a)=(x-a)/ξ*(x-a)=lim(ξ->a) 1/ξ=1/a
第2题一样，等价无穷小法
x->1,x-1->0 分母lnx=ln[1+(x-1)]~x-1
所以极限为Lim (1-x)/(x-1)=-1

Answer 2

第一题，直接把a带进去，即可=lna-a
第二题：=(1-x)/lnx
令t=x-1 则当x→a时，t→0
=-t/ln(1+t)
而我们已经知道：当t→0时，t~ln(1+t)
所以最后结果=-1

Answer 3

碱性