高数求极限的问题
limx→alnx-lna/x-a,还有一题:limx→11/lnx-x/lnx.这两题如果不用洛必达法则该怎么求。第一题,直接把a带进去,即可=lna-a第二题:=(1...
limx→a lnx-lna/x-a,还有一题:limx→1 1/lnx-x/lnx.这两题如果不用洛必达法则该怎么求。
第一题,直接把a带进去,即可=lna-a
第二题:=(1-x)/lnx
令t=x-1 则当x→a时,t→0
=-t/ln(1+t)
而我们已经知道:当t→0时,t~ln(1+t)
所以最后结果=-1
第一题答案有错,是不是看错了?答案应该是1/a第二题正解。 展开
第一题,直接把a带进去,即可=lna-a
第二题:=(1-x)/lnx
令t=x-1 则当x→a时,t→0
=-t/ln(1+t)
而我们已经知道:当t→0时,t~ln(1+t)
所以最后结果=-1
第一题答案有错,是不是看错了?答案应该是1/a第二题正解。 展开
3个回答
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不用洛必达的话,
解一:等价无穷小法
lim x->a
lnx-lna=ln(x/a)=ln[1+(x/a)-1)因为(x/a) -1->0
所以lnx-lna=ln(1+(x/a)-1)~(x/a)-1
所以原式=lim x->a [ (x/a)-1]/(x-a)=lim 1/a=1/a
解二:中值定理法
lnx-lna=(lnξ)'(x-a)=(x-a)/ξ,其中ξ属于[a,x],当x->a,ξ->a
则lim x->a
(lnx-lna)/(x-a)=(x-a)/ξ*(x-a)=lim(ξ->a) 1/ξ=1/a
第2题一样,等价无穷小法
x->1,x-1->0 分母lnx=ln[1+(x-1)]~x-1
所以极限为Lim (1-x)/(x-1)=-1
解一:等价无穷小法
lim x->a
lnx-lna=ln(x/a)=ln[1+(x/a)-1)因为(x/a) -1->0
所以lnx-lna=ln(1+(x/a)-1)~(x/a)-1
所以原式=lim x->a [ (x/a)-1]/(x-a)=lim 1/a=1/a
解二:中值定理法
lnx-lna=(lnξ)'(x-a)=(x-a)/ξ,其中ξ属于[a,x],当x->a,ξ->a
则lim x->a
(lnx-lna)/(x-a)=(x-a)/ξ*(x-a)=lim(ξ->a) 1/ξ=1/a
第2题一样,等价无穷小法
x->1,x-1->0 分母lnx=ln[1+(x-1)]~x-1
所以极限为Lim (1-x)/(x-1)=-1
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