Question

线性代数，证明下面三题，用到的公式也请写出

Answer 1

(1) 证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得: Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时, D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.

假设k<n时结论成立, 则k=n时
Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ - sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ - sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ - sin(n-1)θ]/sinθ
= ......
= sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.

综上可知, 对任意自然数n, Dn=sin(n+1)θ/sinθ.

(2) 按最后一行展开, 再按最后一列展开即得:
Dn = 2cosθ D(n-1) - D(n-2).
用归纳法证明如下:
D1 = cosθ 显然
D2 = 2(cosa)^2 - 1 = cos2θ.
假设k<n时有 Dk = 2cosθ D(k-1) - D(k-2).
则当k=n时有
Dn = 2cosθ D(n-1) - D(n-2)
= 2cosθcos(n-1)θ - cos(n-2)θ
= cosnθ + cos(n-2)θ - cos(n-2)θ
= cosnθ.
命题得证.

Answer 2

(1)按第一列展开
1 0 0 … 0 0
1 2cosθ 1 … 0 0
Dn=2cosθD(n-1)- … … … …
0 0 0 …2cosθ 1
0 0 0 … 1 2cosθ
按第一行展开
Dn=2cosθD(n-1)-D(n-2)
这是一个差分方程，特征方程是λ²-2cosθλ+1=0
λ1=cosθ-sinθi，λ2=cosθ+sinθi
r=1，tanα=(2sinθ)/(2cosθ)=tanθ
那么方程的通解为Dn=C1cos(nθ)+C2sin(nθ)
因为D1=2cosθ=cosθ+cotθsinθ
D2=(2cosθ)²-1=2cos²θ-1+2cos²θ=cos2θ+2cos²θsinθ/sinθ=cos2θ+cotθsin2θ
所以C1=1，C2=cotθ
那么Dn=cos(nθ)+cotθsin(nθ)=[sinθcos(nθ)+cosθsin(nθ)]/sinθ=sin(n+1)θ/sinθ

(2)设原行列式为D，第(1)小题的行列式为Dn
cosθ 0 0 … 0 0
0 2cosθ 1 … 0 0
D=Dn- 0 1 2cosθ… 0 0
… … … …
0 0 0 …2cosθ 1
0 0 0 … 1 2cosθ
按第一行展开
D=Dn-cosθD(n-1)
=sin(n+1)θ/sinθ-cosθsin(nθ)/sinθ
=[sin(nθ)cosθ+sinθcos(nθ)-cosθsin(nθ)]/sinθ
=cos(nθ)

(3)和第(1)小题一样，先按第一列展开，再展开一次，得到递推公式，可以求出Dn