Question

线性方程

设向量B能用向量A1,A2,…,Am线性表出，且表示式是唯一的，试用反证法证明向量组A1,A2,…,Am,必线性无关。

Answer 1

反证: 假设A1,A2,…,Am线性相关
则存在不全为0的数k1,k2,...,km 使得
k1A1+k2A2+…+kmAm = 0.
不妨设 k1≠0.
由已知 B = s1A1+s2A2+…+smAm
则有 B = s1A1+s2A2+…+smAm + k1A1+k2A2+…+kmAm
= (s1+k1)A1+(s1+k2)A2+...+(sm+km)Am
而 s1+k1≠s1
这与 B能用向量A1,A2,…,Am 唯一线性表出矛盾.
故 向量组A1,A2,…,Am 线性无关。