Question

数学题~！！谢谢 我想了一个晚上都想不出来！

如图，已知Rt三角形ABC中，AC＝BC，角C＝90度，D为AB边的中点，角EDF＝90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直AC于E时，易证S三角形DEF＋S三角形CEF＝1/2S三角形ABC，当角EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S三角形DEF、S三角形CEF、S三角形ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

当三角形DEF在三角形ABC内时，结论成立；
当三角形DEF在三角形ABC外时，S三角形DEF-S三角形CEF＝1/2S三角形ABC。若理解为三角形CEF三角形ABC外时，面积为负，则结论成立。

证明：
1.当E在AC上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
因为AC垂直BC
所以E'D垂直F'D，F'D平行AC，E'D平行BC
因为D为AB边的中点，
所以E'为AC边的中点，F'为BC边的中点
因为AC=BC
所以CE'=CF'=1/2AC=1/2BC
所以四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
S三角形DEF+S三角形CEF＝S正方形E'CF'D+S三角形EDE'-S三角形FDF'=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
2.当E在AC延长线上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC（证明同上）
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
设DF与AC的交点为G，过A做AC的垂线交DE于H
因为E'为AC中点，且CE'=CF'
所以AE'=CE'=CF'
因为AH垂直AC
所以AH平行E'D
因为CG平行DF'
所以三角形FCG全等于三角形EAH，梯形CGDF'全等于梯形AHDE'
S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG
所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE'+S三角形DE'G=S梯形CGDF'+S三角形DE'G=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC

Answer 2

解：图2成立；图3不成立
证明图2：
过点D作DM⊥AC，DN⊥BC
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°
再证∠MDE＝∠NDF，DM＝DN
有△DME≌△DNF，∴S△DME＝S△DNF
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF－S△DEF＋S△CEF
由信息可知S四边形DMCN＝1/2S△ABC
∴S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC
图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S △CE＝1/2S△ ABC

追问

为什么DM＝DN？ 怎么证明？

追答

证明：
1.当E在AC上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
因为AC垂直BC
所以E'D垂直F'D，F'D平行AC，E'D平行BC
因为D为AB边的中点，
所以E'为AC边的中点，F'为BC边的中点
因为AC=BC
所以CE'=CF'=1/2AC=1/2BC
所以四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
S三角形DEF+S三角形CEF＝S正方形E'CF'D+S三角形EDE'-S三角形FDF'=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC
2.当E在AC延长线上时
过D做AC、BC的垂线交AC、BC于E'、F'
四边形E'CF'D为正方形，S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC（证明同上）
角EDF'=角EDF+角FDF'=角E'DF'+角EDE'
角EDF=角E'DF'90度
所以角FDF'=角EDE'
因为E'CF'D为正方形
所以DE'=DF'
所以三角形EDE'与三角形FDF'为全等三角形
设DF与AC的交点为G，过A做AC的垂线交DE于H
因为E'为AC中点，且CE'=CF'
所以AE'=CE'=CF'
因为AH垂直AC
所以AH平行E'D
因为CG平行DF'
所以三角形FCG全等于三角形EAH，梯形CGDF'全等于梯形AHDE'
S三角形DEF-S三角形CEF+S三角形FCG=S三角形EDG
所以S三角形DEF-S三角形CEF=S三角形EDG-S三角形FCG=S三角形EDG-S三角形EAH=S梯形AHDE'+S三角形DE'G=S梯形CGDF'+S三角形DE'G=S正方形E'CF'D＝1/2S三角形ABC

Answer 3

连cd