Question

函数f(x)=(x²+2x+a）∕x,X属于[1，正无穷）(1) 若对任意X属于[1，正无穷），f(x)>0.,求a的取值范围

（3）当X属于[1，正无穷），f(x)>a恒成立,,求a的取值范围

Answer 1

1) a>=0显然满足f(x)>0
若a<0
f(x)=x+a/x+2
f'(x)=1-a/x^2>0, f(x)为递增函数，最小值为f(1)=1+a+2>0--->a>-3
所以综合得a的范围是： a>-3
3)若a<=0, f'(x)>0为增函数，最小值为f(1)=1+a+2>a, 符合。
若a>0, f'(x)=0---> x=√a,, -√a.
f(√a)=2√a+2为极小值
若a>=1, 则有最小值为f(√a)：2√a+2>a-->解得 1=<a<4+2√3
若 0<a<1, 最小值为f(1)=3+a>a, 符合。
因此综合得a的取值范围是：a<4+2√3