Question

证明函数单调性。

1.证明f（x）=√1-x²在【-1，0】上是增函数。
2.证明f（x）=x/x²+1在【1，正无穷】上是减函数。

过程，谢谢。

Answer 1

1、解：最直接的方法，设 x1 < x2 且属于区间【-1,0】，则 x2² < x1²
f（x1）- f（x2）=（√1-x1²）-（√1-x2²）
=1/[（√1-x1²）+（√1-x2²） ] [（1-x1²）-（1-x2²）]
=1/[（√1-x1²）+（√1-x2²） ] [ x2² - x1² ] < 0
所以，f（x）=√1-x²在【-1，0】上是增函数。
2、解法同1，
设 x1 < x2 且属于区间【1,正无穷】
f（x1）- f（x2）=x1/（1+x1²）-x2/（1+x2²）
=[ x1（1+x2²）-x2（1+x1²）] / [（1+x2²）（1+x1²）]
= （x1-x2）（1-x1x2） / [（1+x2²）（1+x1²）] < 0
所以，f（x）=x/x²+1在【1，正无穷】上是减函数。

Answer 2

1.因为f（-x）=f（x），所以函数关于Y轴对称，又a=-1开口向下，所以函数在（负无穷，0）单调递增，所以f（x）=1-x²在【-1，0】上是增函数。
2.f（x）=x/x²+1=1/x+1为y=1/x整个的图像向下平移1，又y=1/x在（0，正无穷）单调递减，而上下平移并不会改变它的单调性，所以f（x）=x/x²+1在【1，正无穷】上是减函数。

追问

第一题前面有根号啊魂淡！！！

追答

导数的性质教了没

Answer 3

任取x₁，x₂∈定义域且x₁＜x₂f（x₁）－f（x₂）=.....化解成乘积的形式，根据已知条件判断f（x₁）－f（x₂）是大于零还是小于零若f（x₁）－f（x₂）＞0，则f（x）在定义域上是单调递减若f（x₁）－f（x₂）＜0，则f（x）在定义域上是单调递增