Question

已知f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,﹢∞)且满足①f(xy)=f(x)+f(y)②f(2)=1③当x>1,f(x)>0

1.求证：f（x）为偶函数
2.讨论函数的单调性
3.求f(x)+f(x-3)≤2的解集

第一问我会，关键是第二问..

Answer 1

2、由于此函数是偶函数，故只要研究当x>0时的单调性即可。
设x1>x2>0，则：f(x1)－f(x2)=f[(x2)(x1/x2)]－f(x2)=[f(x2)＋f(x1/x2)]－f(x2)=f(x1/x2)
由于x1>x2>0，则x1/x2>0，从而有：f(x1/x2)>0，即：f(x1)－f(x2)>0
所以f(x1)>f(x2)，即：函数f(x)在(0，＋∞)上递增，从而f(x)在(－∞，0)上递减。
3、f(4)=f(2×2)=f(2)＋f(2)=2
f(x)＋f(x－3)≤2，就是：f(x)＋f(x－3)≤f(4) ====>>>>> f[x(x－3)]≤f(4)
则这个不等式等价于：
①x≠0【定义域】且②x－3≠0【定义域】且③|x(x－3)|≤|4|
解这些不等式组，得：[－1，0)∪(0，3)∪(3，4]

Answer 2

任意x,y满足0<x<y，有
f(y) = f(x)+f(y/x)
0<x<y ==> y/x>1 ==> f(y/x)>0 ==> f(y)>f(x)
所以f(x)当x∈(0,+∞)时，单调递增
另f(x)为偶函数，所以f(x)当x∈(-∞, 0)时，单调递减