Question

如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90度,D是BC上任意一点,求证:BD^2+CD^2+2AD^2!

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Answer 1

证明：从A作AE垂直BC于E。
因为△ABC是等腰直角三角形，所以BE=CE
AE是斜边中线，因此有AE=BE=CE
RT△ADE中，AD²=AE²+DE²
BD²=（BE-DE）²=BE²-2BE×DE+DE²
CD²=（CE+DE）²=CE²+2CE×DE+DE²
因为BE=CE，所以BD²+CD²=2BE²+2DE²
2AD²=2AE²+2DE²
因为AE=BE，所以BD²+CD²=2AD²

Answer 2

明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE= 12BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2× 12BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．

Answer 3

将ACD绕点A旋转90度得ABE，由手拉手模型，之后自己证

Answer 4

初中数学解决者
已帮你把问题发给高手了