Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2x+b)/2^(x+1)+a 是奇函数.

（1）求a.b的值
（2）若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

1.f(-x)=[-2^(-x)+b]/[2^(-x)+a)]
=(-1+b*2^x)/(1+a*2^x)
因为f(x)=(-2^x+b)/(2^x+a)是奇函数
有，f(0)=(-1+b)/(1+a)=0 得 b=1
且，f(-x)=-f(x)
(-1+b*2^x)/(1+a*2^x)=-(-2^x+b)/(2^x+a)
将b=1代入整理得
(-1+2^x)/(1+a*2^x)=(2^x-1)/(2^x+a)
1+a*2^x=2^x+a恒成立
则a=1
故a=1，b=1
2.f(x)=(-2^x+1)/(2^x+1)=-1+2/(2^x+1)
可知f(x)=-1+2/(2^x+1)为递减函数
f(t^2-2t)+f(2*t^2-k)＜0恒成立
只要f(t^2-2t)<-f(2*t^2-k)=f(-2*t^2+k)恒成立
f(x)为递减函数
则t^2-2t>-2*t^2+k恒成立
3t^2-2t-k>0恒成立
则△=4+12k<0 即可
k<-1/3

Answer 2

解：
因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0
即(b-1)/(a+2)=0
则 b=1
因为 f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)
即(b-1/2)/(a+1)=-(b-2)/(a+4)
1/[2(a+1)]=1/(a+4)
2(a+1)=a+4
则a=2
综上：a=2,b=1