Question

请问数学高手单群是什么?

请尽量详细谢谢

Answer 1

1. 有限单群 我们知道，数学的发展中有一个基本观念—群。群也是数学之中各方孝友面的最基本的观念。怎样研究群的结构呢？最简单的方法是讨论它的子群，再由小的群的结构慢慢构造大一些的群。群中最重要的一种群是有限群，而有限群是一个难极了的题目，需要有特别的方法，特别的观念去研究。 命G为群，g∈G为一子群，如对任何g∈G，gH-1g ∈H，则称H为正规的(nomal)。正规子群存在，可使G的研究变为子群H及商群G/H的研究。这样就有一个很自然的问题，有哪些有限的单群(simple group)。单群除了它自己和单位元(identity)之外，没有其他的非平凡的正规子群(normal subgroup)。数学上称其为简单群，其实一点也不简单。有限群论的一个深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数)是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群Zp,交错群An(n>=5)，Lie型单群)外，后来发现了26个零零磨拍碎碎的有限单群(散在单群，离散瞎慎羡单群)，现在知道，最大的散在单群的阶是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
这是很大的单群，由B.Fisher和R.L.Griess两位数学家所发现，数学家称它为魔群(怪物，Monster)。单群的权威数学家D.Gorenstein相信有限单群都在这里了，这当然是数学上一个很好的结果。把单群都确定了，就像化学家把元素都确定了，物理学家把核子的结构都确定了一样。可这里有个缺点，Gorenstein并未将证明写出来。他讲若将证明写出来至少有1000页，而1000页的证明无论如何很容易有错误。可是Gorenstein又说，不要紧，若有错误，这个错误一定可以补救。你相信不相信？数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。现在计算机的出现，许多问题可以验证到很大的数，是否还需要严格的证明，已变成数学上一个有争论的问题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友，是有限群论的专家，也许我们可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由，当你不能做或不喜欢做一个问题时，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜欢做的问题。

Answer 2

首先你要知道子群
设群G，G上二元运算为*,
对集合H,H包含于G,且H对*封闭，
即任意a,b属于H, 满足a*(b的逆)属于H,则H为G的子群

其次是正规子群，
正规子群又跟共轭元有关系
对x,y属于G, 若存在g属于G, y=(g的逆)xg(此时x=gy(g的逆)),则x,y在G中共轭，x,y互为共轭元
共轭是一种等价关系，G中元素分成一些共轭类

正规子群：首先当然是子群咯，其次，弯盯岩
若H为G的子群，满足以下条件之一：
1对任意的x, x的共轭元均属于H(即x所在的共轭类都属于H)
2 若Hg=gH对任意g属于G成立
则H为G的正规子群

任意群有两个平凡的正规子群{1}(仅含单位元)或G本身

若群G仅有两个平凡正规子群，而无其它，则群G为单群。

一些埋御则亮例子：
素数阶循环群为单群
A5为单群（事实上n>=5时，An都是单群）
有限单群：
目前数学家分成4类
素数阶循环群
An
Lie型群（这个我也不清楚）
还有26个散在单群