Question

利用奇偶性求解析式题型

已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)-g(x)=1-x的2次方-x的三次方，求f(x)与g(x）的表达式

Answer 1

f(x)-g(x)=1-x^2-x^3

f(x)为偶函数， f(-x)=f(x)
g(x)为奇函数，g(-x)=-g(x)

所以
f(-x)-g(-x)=1-x^2+x^3
f(x)+g(x)=1-x^2+x^3

f(x)-g(x)=1-x^2-x^3
f(x)+g(x)=1-x^2+x^3
两式相加：
2f(x)=2-2x^2
f(x)=1-x^2

所以，g(x)=x^3

Answer 2

f(x)-g(x)=1-x^2-x^3 ...(1)
∴f(-x)-g(-x)=1-x^2+x^3
∴f(x)+g(x)=1-x^2+x^3 ...(2) (函数奇偶性)
(1)式+（2）式即有
f(x)=1-x^2
(1)式-（2）式即有
g(x)=x^3
这种都是-x代一下，化回f(x)：利用奇偶性,再解恒等式的方程组
多练练就熟了

Answer 3

利用f(-x)=f(x)偶，g(-x)=g(x)奇这个性质求解
令x=-x代入原方程中
得到f(-x)-g(-x)=1-x的2次方+x的三次方
化简：f(x)+g(x)=1-x的2次方+x的三次方------------2方程
与原方程联立消元。。原方程与2方程相加。。消掉g(x)得到
2f(x)=2-2x的2次方
f(x)=1-x的2次方。。。。。。。。两方程加减可消掉f(x)求出g(x)

Answer 4

f(x)-g(x)=1-x^2-x^3 ...(1)
∴f(-x)-g(-x)=1-x^2+x^3
∴f(x)+g(x)=1-x^2+x^3 ...(2) (函数奇偶性)
(1)式+（2）式即有
f(x)=1-x^2
(1)式-（2）式即有
g(x)=x^3