Question

已知函数f(x)=x的四次方-4x的三次方+ax的平方-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减。

(1) 若点A(X0 ，f（X0）)在函数f(x)的图象上，求证：点A关于直线X=1的对称点B也在函数f(x)的图像上；
(2)是否存在实数b使得函数g(x)=x^4+bx^2+1(其中b小于4）的图像与f(x)的图象恰有3个交点，若有，求出实数b的范围，若不存在请说明理由。

Answer 1

f '(x) =4x^3 - 12x^2 + 2ax
因为f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减，所以f '(x)的图像经过点(1,0)
所以a=4，即f(x)=x^4 - 4x^3 +4x^2 -1 = (x-2)^2 * x^2 -1
1）A在f(x)上，有 f(x0) = (x0-2)^2 * x0^2 -1
点A关于直线X=1的对称点B( 2-x0,f(x0) )
因为(2-x0-2)^2 * (2-x0)^2 -1 =(x0-2)^2 * x0^2 -1=f(x0)
所以B也在f(x)上
2）交点就是 x^4 - 4x^3 +4x^2 -1 =x^4+bx^2+1
即4x^3 + (b-4)x^2 +2 =0
设h(x)=4x^3 + (b-4)x^2 +2
h '(x) =12x^2 + 2(b-4)x
所以h(x)在【负无穷,(b-4)/6】递增，【(b-4)/6，0】递减，【0，正无穷】递增
由于h(x)极小值点h(0)=2>0，通过图像的增减性知道，当b<4时，h(x)=0只有一解。
即不存在b使得有3个交点