Question

已知函数f(x)=ax-x^3,当x1,x2属于（0，1），且满足x1<x2时，有f(x2)-f(x1)>x2-x1恒成立，求a的取值范围

网上虽然有答案，但是跳的太快，没看明白，希望来个详细点的讲解

Answer 1

上面的答题都有问题
f(x)=ax-x^3,当x1,x2属于（0，1），且满足x1<x2时，有f(x2)-f(x1)>x2-x1恒成立
f(x2) = ax2-x2^3
f(x1) = ax1-x1^3

f(x2) - f(x1) = (ax2-x2^3) - (ax1-x1^3)
= (ax2-ax1) - (x2^3-x1^3)
= a(x2-x1) - (x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)
= (x2-x1)(a-x2^2-x1x2-x1^2) > x2-x1恒成立
∵x1<x2 ，∴x2-x1>0，∴两边同除以x2-x1不等式不变号
∴a-x2^2-x1x2-x1^2 ＞1
∴a ＞ x2^2+x1x2+x1^2+1 = x1^2+x2^2+x1x2+1
∵ x1^2+x2^2≥2x1x2
∴x1^2+x2^2+x1x2+1≥3x1x2+1
又0<x1x2<1
∴1<3x1x2+1<4
∴a>4
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

Answer 2

f(x)=ax-x^3,
f'(x) = a-3x^2
当x1,x2属于（0，1），且满足x1<x2时，有f(x2)-f(x1)>x2-x1恒成立
∵x2-x1＞0
∴【f(x2)-f(x1)】/【x2-x1】＞1
x2-x1趋近于0时，lim【f(x2)-f(x1)】/【x2-x1】=f'(x)
∴f'(x)＞1
即：a-3x^2＞1
a＞3x^2+1
x∈（0,1）
0＜3x^2＜3
1＜3x^2+1＜4
∴a ≥ 4

Answer 3

因为x1<x2，所以x2-x1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，所以在（0,1）上f（x）是递增函数，f(x)的导数＞0，即a-x^2＞0，a＞x^2。