Question

x>0,y>0且1/x+1/y=1则u=x+2y的最小值是

Answer 1

u=x+2y 则 x=u-2y
得：1/(u-2y)+ 1/y=1
得：y+u-2y=uy-2y^2
即：2y^2-(u+1)y+u=0 有解所以有：
u>0
(u+1)^2-8u ≥ 0 得：
u≥ 3+√10
u=x+2y的最小值是 3+√10

Answer 2

u=x+2y两边同除x
u/x=1+2y/x
u=x+2y两边同除y
u/y=x/y+2
两式相加
u(1/x+1/y)=3+x/y+2y/x
u=3+x/y+2y/x
利用定理a+b≥2√ab（a，b均大于0，仅当a=b时候取等号）；
x/y+2y/x>=2√2
u的最小值为3+2√2

Answer 3

∵1/x+1/y=1
∴1/x = 1-1/y = (y-1)/y
∴x = y/(y-1)
∵x＞0，y＞0
∴y-1＝0
∴y＞1

u=x+2y = y/(y-1)+2y
= {(y-1)+1}/(y-1) + {2(y-1)+2}
= 1 + 1/(y-1) + 2(y-1) + 2
= 3 + 2(y-1)+1/(y-1)
= 3+ ( √[2(y-1)] - 1/√(y-1) }^2 + 2√2
≥ 3+2√2
最小值 3+2√2

Answer 4

u=1*u=（1/x+1/y）*（x+2y）=3+x/y+2y/x
由x>0，y>0知x/y 与y/x大于0
由a+b≥2√ab有
u≥3+2√x/y*2y/x=3+2√2