Question

用向量方法证明三角形的余弦定理

Answer 1

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a

则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，

那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，

又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，

a^2=b^2+c^2-2bccosA。

同理可用向量证明得到，

b^2=a^2+c^2-2bccosB，

c^2=b^2+a^2-2bccosC。

上述即用向量证明了三角形的余弦定理。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：百度百科-向量

Answer 2

三角形ABC中,向量AB+BC=AC
两边平方,
AB^2+BC^2+2AB·BC=AC^2
注意:向量AB与BC夹角是角B的补角,所以
2AB·BC=2|AB||BC|cos(π-B)=-2|AB||BC|cosB,所以
AC^2=AB^2+BC^2-2|AB||BC|cosB
同理可证其余两式.

Answer 3

BC=AC-AB
BC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2
a^2=b^2-2bccosA+c^2

追问

我怎么看不懂啊？

追答

前两个是向量式。
第二个式子是第一个式的两边平方（就是自已与自己数量积）转化来的。
BC^2=|BC|^2=a^2
AC^2=|AC|^2=b^2
AC*AB=|AC|*|AB|*cosA=bccosA(数量积定义）
AB^2=|AB|^2=c^2，
统统代入，不就是出来结果了么？

Answer 4

课本上的证明方法，你学会了吗？