Question

函数的奇偶性

已知函数f(x)的定义域为{x/x属于R且x不等于0}，对于定义域内的任意x1,x2都有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)且当X大于1时且当f（x）>0,f(2)=1求证
1. f(x)是偶函数
2. f(x) 在(0,正无穷上 )是增函数

Answer 1

1、在f(x1x2)=f(x1)＋f(x2)中，以x1=x2=1代入，得：f(1)=0；再以x1=x2=－1代入，得：f(－1)=0；以x2=－1代入，得：f(－x1)=f(－1)＋f(x1)，即：f(－x1)=f(x1)，这个就是：
f(－x)=f(x)。所以函数f(x)是偶函数。
2、由于此函数是偶函数，故只要研究当x>0时的单调性即可。
设x1>x2>0，则：f(x1)－f(x2)=f[(x2)(x1/x2)]－f(x2)=[f(x2)＋f(x1/x2)]－f(x2)=f(x1/x2)
由于x1>x2>0，则x1/x2>0，从而有：f(x1/x2)>0，即：f(x1)－f(x2)>0
所以f(x1)>f(x2)，即：函数f(x)在(0，＋∞)上递增，从而f(x)在(－∞，0)上递减。

【赠送第三问】
3、解不等式f(x)＋f(x－3)≤2】
解：f(4)=f(2×2)=f(2)＋f(2)=2
f(x)＋f(x－3)≤2，就是：f(x)＋f(x－3)≤f(4) ====>>>>> f[x(x－3)]≤f(4)
则这个不等式等价于：
①x≠0【定义域】且②x－3≠0【定义域】且③|x(x－3)|≤|4|
解这些不等式组，得：[－1，0)∪(0，3)∪(3，4]

Answer 2

答案别人已经想出了，我就不重复了。。。。
你以后看到证明函数是偶函数（或奇函数）的时候，只要构造f(－x1)=f(x1)【f(－x1)=f(x1）】就行，不过构造这一步骤比较难
证明增函数或减函数时构造当x1>x2,证明f(x1)>f(x2)就行
虽然很简单，不过解题的方法就是这样，然后题千变万化，靠你自己吧