Question

二分之一,负四分之三,八分之七,负十六分之十五......此数列第2010个数是，第n的数是？

Answer 1

解：
先不考虑正负号
分母是2，4，8，16，……，是公比为2的等比数列，记为｛an｝
an=2*（1-2^n）/（1-2）=2^（n+1）-2
则a2010=2^2011 - 2
分子是1，3，7，15，……，是一个二级等比数列，记为｛bn｝
b2-b1=3-1=2
b3-b2=7-3=4
b4-b3=15-7=8
……
bn-b（n-1）=2^（n-1）
两边分别相加，左边只剩b1和bn项，右边是一个等比数列的和
bn-b1=2*［1-2^（n-1）］/（1-2）
=2^n -2
bn=1+2^n -2
=2^n -1
则b2010=2^2010 - 1
此数列奇数项为正，偶数项为负。
所以，此数列第2010个数是 -（2^2010 - 1）/（2^2011 - 2）
第n个数是（-1）^（n+1）*（2^n -1）/［2^（n+1）-2］