Question

求函数y=x-根号(1-x)的值域

Answer 1

解：
函数y=x-√(1-x).
换元，可设t=√(1-x).
则易知，此时函数
y=(1-t²)-t. t≥0
∴1-y=t²+t
=[t+(1/2)]²-(1/4)
∴(5/4)-y=[t+(1/2)]², t≥0
易知，[t+(1/2)]²≥1/4
∴恒有(5/4)-y≥1/4
∴y≤1.
即函数值域为(-∞,1]

Answer 2

观察发现x和-√1-x两个函数在定义域(-∞，1]上都是增函数
故f(x)max=f(1)=1
而当x趋向于-∞，y也趋向于-∞。
故值域为(-∞，1】

Answer 3

LS说的方法比较活、我就来介绍个通用方法
令根号下1-x=t t大于等于0
即1-x=t^2
x=1-t^2
y=1-t-t^2
= - (t+1/2)^2+5/4
（数形结合）画图可知、当t大于等于0时，y小于等于1（令t=0得极限值）
即y∈(-∞，1】