Question

数三，线性代数的一道题

1 2 1
设A=0 1 a,B是3阶非零矩阵且满足BA=0.
1 a 0
（ I ）求矩阵B
（ II )如果矩阵B的第一列是（1,2，-3）T，求（B-E）^6
关键是第一问，求出来第一问，第二问我感觉差不多会了，第二用相似矩阵，求出B的相似对角矩阵C，P^-1BP=C,（B-E）^6~（C-E）^6,B=p（C-E）^6p^-1，是这样吗，如果是我想的这样就不用算了，还望指点，先行谢过！
？？1 2 1
设A=0 1 a,B是3阶非零矩阵且满足BA=0.
1 a 0
（ I ）求矩阵B
（ II )如果矩阵B的第一列是（1,2，-3）T，求（B-E）^6

Answer 1

解: (1) 因为 B≠0, 所以 r(B)>=1
又因为 AB = 0
所以 r(A)+r(B) <= n
所以 r(A) <= n -r(B) <= 3-1 = 2.
所以 |A| = 0
即 |A| = 2a-1-a^2 = -(a-1)^2 = 0
所以 a = 1.
所以 A =
1 2 1
0 1 1
1 1 0

由 BA = 0
所以 A^TB^T = 0.
即 B^T 的列向量都是 A^TX = 0 的解.

A^T-->
1 0 1
0 1 -1
0 0 0

A^TX=0 的基础解系为 α=(1,-1,-1)'.
所以B^T = (k1α,k2α,k3α) =
k1 k2 k3
-k1 -k2 -k3
-k1 -k2 -k3

所以 B =
k1 -k1 -k1
k2 -k2 -k2
k3 -k3 -k3

k1,k2,k3 为任意常数.

(2) 你说的方法可行
我用二项式公式, 方法你参考一下吧.

由已知, k1=1,k2=2,k3=-3
B =
1 -1 -1
2 -2 -2
-3 3 3
= (1,2,-3)^T(1,-1,-1)

因为 (1,-1,-1)(1,2,-3)^T = 2.
所以 B^2 = (1,2,3)^T[(1,-1,-1)(1,2,3)^T](1,-1,-1) = 2B.
一般有 B^k = 2^(k-1)B.

因为B与E可交换, 故(B-E)^6可用二项式展开公式:
(B-E)^6
= B^6 - 6B^5 + 15B^4 - 20B^3 + 15B^2 - 6B + E
= 2^5B - 6*2^4B + 15*2^3B - 20*2^2B + 15*2B - 6B + E
= [2^5 - 6*2^4 + 15*2^3 - 20*2^2 + 15*2 - 6]B + E
= E.

PS. 这是哪年的考题? 我没看到这个题目

追问

不是哪年的考题，是我们学校组织的一次数学模拟考试
B =
1 -1 -1
2 -2 -2
-3 3 3
这是怎么看出来= (1,2,-3)^T(1,-1,-1)的啊，太厉害了！

追答

哦. 这题有些难度

矩阵B的秩等于1的充分必要条件是B可表示成一个非零列向量与一个非零行向量的乘积

r(B)=1, 则B的每一行都是某个行向量[上例中(1,-1,-1)] 的倍数, 用这些倍数构成列向量[上例中的(1,2,-3)^T] 即得B的向量乘积形式.

Answer 2

1，次氯酸本身极不稳定,易分解为盐酸和氧气,硝酸银中的银离子对次氯酸根分解有一定催化促进作用,可与之生成难溶的氯化银沉淀,所以两者相遇一般得到硝酸,氯化银和氧气,而非次氯酸银。2，次氯酸与硝酸银反应的化学方程式：2HClO +2AgNO3=2AgCl +O2+2HNO3