Question

已知：如图，平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3）

若点A处有一等腰RT△AMN绕点A旋转,且AM=MN,∠AMN=90°，连BN,点P为BN的中点，试猜想op与mp的数量和位置关系

Answer 1

已知：如图，平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），若点A处有一等腰RT△AMN绕点A旋转,且AM=MN,∠AMN=90°，连BN,点P为BN的中点，试猜想OP与MP的数量和位置关系
解：取AB的中点E，连接OE；由于△AOB是等腰直角三角形，故OE⊥AB，且OE=AB/2；
再取AN的中点F，连接MF；同理由于△AMN是等腰直角三角形，故MF⊥AN，且MF=AN/2；
连接PF，则PF是△ABN的中位线，故PF=AB/2=OE；PE也是△ABN的中位线，故PE=AN/2=MF
∠OEP是∠BEP的余角；∠PFM是∠PFN的余角；而∠BEP=∠BAN=∠PFN，∴∠OEP=∠PFM;
∴△OPE≌△PMF，∴OP=PM，∠POE=∠MPF；
又由于OE⊥AB，PF∥AB，∴OE⊥PF；于是∠POE+∠OPF=∠MPF+∠OPF=90°，即恒有OP⊥PM；
以上结论是等腰RT△AMN处于任意位置得出的，由此可得结论：不管等腰RT△AMN绕A点怎么旋转，△OPM始终保持为等腰直角三角形不变。

Answer 2

OP=MP,OP垂直MP.
证明:取AB的中点F,取AN的中点E,连接OF,PF,MG,PG.
又F为AB中点,则:PF=AN/2=MG;OF=AB/2=PG;PF∥AN,PG∥AB.(中位线性质)
则:∠BFP=∠BAN=∠PGN.
又OF垂直AB,MN垂直AM,则∠PFO=∠MGP(等角的余角相等)
∴⊿PFO≌ΔMGP(SAS),得:OP=MP;∠POF=∠MPG.
又OF垂直AB,PG平行AB,则PG垂直OF.
所以:∠MPG+∠OPG=∠POF+∠OPG=90度,得:OP垂直MP.