Question

如图,AB为圆O的,从圆上一点C引弦CD⊥AB,作角OCD的平分线CP,交圆O于P点,连结PA,PB，求证PA弧=PB弧

如图,AB为圆O的,从圆上一点C引弦CD⊥AB,作角OCD的平分线CP,交圆O于P点,连结PA,PB，求证PA弧=PB弧

Answer 1

连接OP, 知OP=OC；（圆半径）
所以角OCP=角OPC；
又角DCP=角OCP；（PC是角DCO的平分线）
得，角OPC=角DCP；所以CD//OP; （内错角相等，两直线平行）
又CD⊥AB，推得OP⊥AB；
已知OP=OA=OB；（圆半径）
所以RT三角形AOP与RT三角形BOP全等；（SAS判定定理）
推得AP=PB，对应，弧AP=弧PB；得证。

Answer 2

证明:连接AC,BC.
AB为直径,则角ACB=90度;又CD垂直AB.则∠ACF=∠CBA(均为角BCF的余角);
OC=OB,则:∠OCB=∠CBA.
故∠ACF=∠OCB;
又∠DCP=∠OCP,则∠ACF+∠DCP=∠OCB+∠OCP.
即∠ACP=∠BCP,得:弧PA=弧PB.