Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=-f(x),证明：

1。f(x)的图像关于点（1,0）对称，
2。f(x)的图像关于直线x=2对称；
3。方程f(x)=0在[0,4]上至少两个根

请证明下，O(∩_∩)O谢谢。好的追50分

Answer 1

将x=x-1代入f(2+x)=-f(x)
=>f(1+x)=f(2+x-1)=-f(x-1)=-f(1-x)
=>f(x)的图像关于点（1,0）对称。

f(2+x)=-f(x)
=> f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x)
=>f(x)的图像关于直线x=2对称。

f(2-1)=-f(-1)=-f(1)=f(1) =>f(3)=0
f(2+1)=f(2-1)=f(1) =>f(1)=0
=>方程f(x)=0在[0,4]上至少两个根x=1和x=3。

Answer 2

数学题，符合难写，你假我qq，我画图上回你吧。987417075

Answer 3

(1)
f(x+1)=f(x-1+2)=-f(x-1)
f(x+1)+f(x-1)=0
所以f(x)的图像关于点（1,0）对称，

(2)
f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
所以f(x)的图像关于直线x=2对称；

(3)
取x=0, 则f(4)=-f(2)=f(0)
如果
f(4)>0, 那么f(2)<0,f(0)>0f(4) 则 f(2)<0, f(2) f(0)<0
f(4)<0, 那么f(2)>0.f(o)<0f(4) 则 f(2)<0, f(2) f(0)<0,
f(4)=0, 那么f(0)=0 则f(4)=f(0)=0
综上所述方程f(x)=0在[0,4]上至少两个根

追问

（3）中，f(0)>0f(4)
是什么？？？

追答

打错了。
3)
取x=0, 则f(4)=-f(2)=f(0)
如果
f(4)>0, 那么f(2)0 则f(4)* f(2)0.f(o)<0 则f(4)* f(2)<0, f(2) *f(0)<0,
f(4)=0, 那么f(0)=0 则f(4)=f(0)=0
综上所述方程f(x)=0在[0,4]上至少两个根