Question

大一基本微积分题求解, 大大悬赏.

用正式的连贯的，有逻辑的方法证明X^5无限趋近于0 当X无限趋近于0
需要用那种逻辑的方法
limx-->a f(x) =L
if 0<|x-a|< δ then |f(x)-L|< ϵ

Answer 1

任取ϵ>0
使
|x^5-0|<ϵ
有
|x|<ϵ^(1/5)
只要取δ =ϵ^(1/5)
那么对于一切的x,
当0<|x|<δ时,有|x^5-0|<ϵ恒成立,
所以由极限定义有: 当X无限趋近于0时,X^5无限趋近于0,
即limx^5=0 (x-->0)

Answer 2

首先，你的题目中最后的式子是错误的，0<|x-a|< δ中的 0<是多余且 错误的。因为你把 x=a这个点排除在 外，将如果x=a这个点 是个 奇异点，极限不存在，按照你的式子，也会变成存在了。
正确描述是：x^5趋于0等价于，对于任意ϵ>0，必存在一个正数 δ, 如果|x-a|< δ，则 |x^5-0|<ϵ成立
证明很简单，利用指数函数单调性，x^5在R上单调，因此 取 δ=0.5 * 5次根号ϵ，则显然上面的结论成立