Question

高数极限证明题求解，要求过程详细，告诉我为什么这么做，具体对待这类题的方法。

Answer 1

方法1，直接用定义证明：
对于任给的ε>0，要找N，使得当n>N时，有|（n+2）cosn/（n^2-2）|<ε，
而|（n+2）cosn/（n^2-2）-0|≤|（n+2）/（n^2-2）|≤（当n>1时）|≤|（n+n）/（n^2-n^2/2）|
=| 2n/n^2/2 |=| 2n/n^2/2 |=4/n，因此只要n>4/ε，就有|（n+2）cosn/（n^2-2）-0|≤…≤4/n<ε，
故取N=[4/ε]+1即可。

方法2，用“有界量乘无穷小量还是无穷小量”间接证明：
显然，cosn是有界量，然后参照方法1用定义证明lim（n->无穷）(n+2)/(n²-2)=0，即得证。

用定义证明极限的关键是“适当的放缩”，放缩的方法不是唯一的。
针对本题，是“适当的放大”，方法1采用的只是某一种放大方式，还可以用其他方式放大该不等式。另需注意cosn是有界量。

Answer 2

因为cosn是有界量，而（n+2）/（n^2-2)是无穷小量（n趋于无穷大） 所以（n+2）/（n^2-2)cosn的极限为0（n趋于无穷大）

Answer 3

(n+2)/(n²-2)=(1/n+2/n²)/(1-2/n²)
当n趋于无穷时，，1/n, 2/n² 都趋于0
于是，(n+2)/(n²-2) 趋于0
0<=|cosn|<=1
当 n 趋于无穷时，它是一个有界量。
那么，这个极限的值是0
（由于电脑上没有办法输入一些符号，只能作这样的说明，希望对你有帮助，）