Question

对于任意实数X,不等式2x^2-a

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是

Answer 1

解法一：2x^2-a(x^2+1)^1/2+3=2（x^2+1）-a(x^2+1)^1/2+1
设z=(x^2+1)^1/2≥1，故2x^2-a(x^2+1)^1/2+3=2z²-az+1，2z²-az+1＞0对于z∈[1,+∞）上恒成立。
构造函数f（z）=2z²-az+1，z∈[1,+∞），则△＜0，或△＝0，a/4≤1或f（1）＞0，△＞0,a/4＜1
解得a＜3
解法二：原式化为a＜（2x^2+3）/(x^2+1)^1/2=2(x^2+1)^1/2+3/(x^2+1)^1/2恒成立。
设b=(x^2+1)^1/2≥1，则2(x^2+1)^1/2+1/(x^2+1)^1/2=2b+1/b当b=1时（2b+3/b）min=3
故a＜3