Question

f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)*f(y) 求证： f(x)=x, 对于所有实数都成立

如题，
以证明 f(x)=x对于 有理数成立，但现在不知道怎么证明它对无理数成立。
谢谢！
以=已
恩， 忘说了， 这个函数是连续的

Answer 1

这就是柯西方程，既然已经连续，可以用高等数学来做就好
证明，由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))=f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
=>f(x)=kx+b
=>f(x+y)=f(x)+f(y)=>k(x+y)+b=k(x+y)+2b=>b=0
f(xy)=f(x)*f(y)=>看kxy=k^2xy(对任意x,y成立）=>k^2=k=>k=0或者1
=>f(x)=0或者x
希望能够帮到你，祝好~

追问

这个题后面的提示说，两个实数之间一定有一个有理数，能否用这个线索做呢？
谢谢啊

追答

假如要用初等方法的话首先对任意有理数很容易证明
f(x)=x
下面证明对任何实数有f(x)=x
首先设这个实数为a，则对任意实数ξ，
存在有理数x1满足|x1-a|<ξ，|x2-a|<ξ
因为a可以用小数表示 ana(n-1)....a0 . b0b1b2.....bn.....
这样实际上x1是可以无限趋近于a的，因为对于任意实数ξ，存在正整数n
使得10^(-n)<ξ
那么就让x1取到小数点后n+1位即可满足
同样让x2取到小数点后n+1位最后一位加1，这样就满足-ξ<x1-a<x2-a<ξ
而f(x1)=x1,f(x2)=x2
显然limx1=a=linx2
又f(x)连续
f(a)=lim(f(x1))=a
证毕

Answer 2

这个题目本来是要求f(x)为非常数函数。
证明方法叫柯西方法，从正整数到负整数，从正分数到负分数，这样就证完有理数了，无理数是用极限来做的。
有理部分比较简单，不打了。
对于任意无理数x，构造收敛于x的有理数列{An}
f(An)=An
令n→∞时,An→x
就有f(x)=x。
这些都是高三甚至大学的东西，不理解的地方追问吧。

追问

等着你的回复 ： ）

追答

不是已经写上去了么…哪里不明白就追问

追问

构造有理数列的时候，用真的找一个这么的有理数列吗？

令n→∞时,An→x
就有f(x)=x。

这不明白。

这个题后面的提示说（用定理 两个实数之间一定有一个有理数去做），不知是否有关系， 谢谢啊

追答

不用真的找的，只要存在就行了，满足定义就行了。满足这个条件的数列肯定存在的。至于你说的那个提示，和我说的没关系。而且我觉得提示有问题，两个有理数之间是有无数个无理数的。这样就算用夹逼的方法也很难说明的。
最好用我说的那个极限的方法。

Answer 3

令x=y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=0
令x=-y代入f(x+y)=f(x)+f(y),得
0=f(x)+f(-x)
即f(x)是奇函数
令x=y=1代入f(xy)=f(x)*f(y)得f(1)=1
令y=1代入f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(x+1)=f(x)+1
所以f(x)是线性函数
根据f(0)=0,f(1)=1得f(x)=x

Answer 4

用举例法做，不能分开证明，这样很麻烦的。
设a，b均为实数
那么f(a)=a; f(b)=b, f(a+b)=a+b 肯定成立的

因为:f(a+b)=f(a)+f(b); f(a*b)=f(a)*f(b) 都成立，
所以f（x）=x对所有实数都成立。

Answer 5

f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)
f(x)=0或f(1)=1
讨论，若f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件；
若f(x)=0对一切实数不恒成立，则f(1)=1
有理数的情况容易证明，无理数的确不好证。不过是否可以假定函数是连续的？
不管怎么说，这题目的结论是错误的，因为f(x)=0对一切实数成立，显然满足题目条件

追问

函数连续，那之后呢？