Question

已知f(0)=1,f(x+y)-2f(x-y)=x(x-y)+2xy-1,求f(x)

解法1：令y=0得f(x)=1-x*x
解法2：令y=x得f(x)=(x*x/2)+1
问解法2为什么不对？

Answer 1

解法2：
令y=x得，f(x+x)-2f(x-x)=x(x-x)+2x^2-1
f(2x)-2f(0)=2x^2-1
f(2x)=2x^2-1+2=2x^2+1
令x=x/2，得f(x)=2(x/2)^2+1=x^2/2+1
解法1：
令y=0得，f(x+0)-2f(x-0)=x*(x-0)+0-1
-f(x)=x^2-1, => f(x)=1-x^2

两种解法都是对的

追问

若再令x=0呢？结果又不一样？到底它有几个解析式？

追答

令x=0，f(0+y)-2f(0-y)=0*(0-y)+2*0*y-1
f(y)-2f(-y)=-1 (1) 再令y=-y，得
f(-y)-2f(y)=-1 (2)
(1)+(2)*2，得
-3f(y)=-3 => f(y)=f(x)=1

貌似真的有很多个解析式？

Answer 2

解法2也符合的，谁说只有一个答案的？