Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)，又当x∈[-1,1] f（x）=x³，则当x∈[1.5]时 f（x）的解析式是？？？？？求解啊，，！！！！！急 求解 ！！！

Answer 1

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期函数，周期为4，又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),结合已知得F(-x)=f(x+2),用-x代替x,得
f(x)=f(2-x),所以f(x)关于直线x=1对称，又当x∈[-1,1] ， f（x）=x³
当1《x≤3时，-3≤-x≤-1, -1≤2-x≤1,所以f(2-x)=(2-x)^3;
当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1, 所以f(x-4)=(x-4)^3;
所以当x∈[1.5]时 f（x）的解析式是{(2-x)^3; (x∈[1,3])
{(x-4)^3; (x∈(3,5])

Answer 2

x∈[1.3]时, f(x) = f(x-2 +2) = -f(x-2) = -(x-2)^3 ,第二个等式是因为x-2x∈[-1.1],套f(x)=x^3
x∈[3.5]时, f(x) = f(x-2+2) =-f(x-2) = -[-(x-2-2)^3]= (x-4)^3
上面综合起来就是答案