Question

已知函数f (x)=x2+2x+1， 若存在t，当x∈[1，m]时，f (x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值为

Answer 1

解：设g（x）=f（x+t）-x=x2+（2t+1）x+（1+t）2，
由题值f（x+t）-x≤0恒成立即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：
t∈[-3，-1]，m2+（2t+1）m+（t+1）2≤0，
即当t=-1时，得到m2-m≤0，解得0≤m≤1；当t=-3时，得到m2-5m+4≤0，解得1≤m≤4
综上得到：m∈[0，4]，所以m的最大值为4
故答案为4

Answer 2

因为 f(x+t)<=x恒成立,可得f1(x)=x^2+(2t+1)x+(t+1)^2<=0
b^2-4ac>=0 可得：t<=-3/4 (1)
因为抛物线开口向上且在[1,m]范围内<=0
所以根x1<=1 即f1(1)<0，得-3<=t<=-1
x2>=m x2=[-2t-1+根号(-4t-3)]/2>=m
因为[-2t-1+根号(-4t-3)]/2 是减函数，t最小时m最大
所以t=-3代入得 m<=4